Souhrnný sborník Veletrhu nápadů učitelů fyziky

O příspěvku

PDF ke stažení

Válek J., Sládek P.

Abstrakt

Příspěvek prezentuje možnosti dynamického modelování vyvinuté pomocí PHP pro skládání navzájem kolmých souměřitelných kmitů v rovině, které je doplněné o skutečný 3D model realizovatelný na průhledné folii, jehož projekcí do 2D lze výsledky se studenty ověřit.

Úvodem

Není třeba opakovat, že výpočetní technika se stala již běžně používanou didaktickou technikou a ve výuce se s ní setkáváme bez ohledu na stupeň školy. Méně často však její možnosti využíváme ve školách pro přípravu podkladů pro konstrukci reálných učebních pomůcek.

Zaměříme-li se dynamické modelování ve fyzice, zejména v základním kurzu fyziky, můžeme s výhodou využít nejenom speciální programy, ale můžeme si připravit vlastní modely, založené na volně přístupných platformách.

Při vytváření dynamických modelů se nejčastěji setkáváme s těmi, ve kterých nastává změna některé veličiny v čase. Ty jsou také jedny z nejvhodnějších pro nahrazení obvykle používaného hotového výsledku analytického řešení, když samotné řešení a postup výpočtu je nad rámec časových možností výuky, eventuálně schopností studentů jak jsme již uvedli v předchozím článku [5].

Skládaní navzájem kolmých kmitů

Grafickým výsledkem skládání dvou navzájem kolmých kmitů v rovině jsou Lissajousovy obrazce, které se používají k porovnání dvou frekvencí a jejich fází. Je-li vzájemný poměr frekvencí celočíselný (1:2, 2:3, 5:7, …) jsou obrazce zřetelně pozorovatelné. Navíc, pokud je poměr frekvencí racionální číslo, jsou křivky uzavřené.

Pro jednotlivé kmity pak v osách X a Y platí: \[\tag{1} x = X_0 \sin(\omega_x t+\varphi_x) \] \[\tag{2} y = Y_0 \sin(\omega_y t+\varphi_y) \]

Pro zjištění fázového posuvu odečteme jednotlivé fázové posuvy od sebe: \[\tag{3} \varphi = \varphi_x - \varphi_y \]

Pokud je fázový posun roven nule, získáváme základní tvar křivky. Výsledný pohyb reálného tělesa či bodu při skládání dvou vzájemně kolmých kmitů souměřitelných frekvencí, amplitud a počátečních fází bude periodický. Ten se bude uskutečňovat po již zmíněných Lissajousových křivkách. Proces výše uvedeného výpočtu by byl manuálně velmi zdlouhavý, a proto můžeme nechat tyto křivky na obr. 1 a obr. 2 vygenerovat počítač.

Při konstrukci Lissajousových obrazců si můžeme položit následující otázku:

„Pro dané frekvence kmitů v jednotlivých osách f_x, f_y, změníme fázi. Jsou potom vykreslené obrazce stejné nebo různé?“

Odpověď nám pomůže najít právě dynamické modelování.

Při praktických cvičeních s osciloskopem, kdy provádíme skládání dvou kolmých kmitů a snažíme se vytvořit Lissajousův obrazec, můžeme pozorovat následující jev: Při špatně nastavené časové základně (volt/bod) se začne obrazec „pohybovat“ po obrazovce osciloskopu, jakoby rotoval. Po pečlivějším prozkoumání zjistíme, že to, jak si interpretujeme Lissajousovy obrazce pouze ve 2D není v podstatě úplné. Samotný obrazec si můžeme představit, jako by byl nakreslený na průhledném válcovém tělese po celém jeho obvodu, a my se pouze pohybovali dokola, kolem tohoto tělesa a měnil se jenom náš pozorovací úhel. Protože je válec průhledný, vidíme obrazec na bližší i na vzdálenější stěně od nás. Obrazec, který je vytvořený současně „přední“ i „zadní“ projekcí, není tak vždy nový, ale je pouze viděný z jiného místa.

Je nutno poznamenat, že tento pohyb místa pozorování kolem válce nemusí být na první pohled zřejmý, protože vzdálenější křivka není menší, chybí nám tak perspektiva, a to nás přirozeně mate.

Výsledky modelování skládání navzájem kolmých kmitů v PHP

Na obr. 1 a 2 jsou znázorněny výsledky modelování v PHP skládání navzájem kolmých kmitů pro vzájemný poměr frekvencí 1:1 a 2:3 pro jednotlivé fázové rozdíly (blíže v [4]).

3D-pomůcka pro vytvoření Lissajousových obrazců

Demonstrovat Lissajousovy křivky tak lze pomocí Blackburnova kyvadla nebo pomocí stočených fólií. Pomocí fólií je demonstrace jednodušší a také časově méně náročná na přípravu. Pro demonstrování křivek frekvencí v poměru 1:1, 2:1, 2:3 jsme na průhlednou fólii natiskli obrazce na obr. 3. Fólii jsme poté stočili a slepili.

Na přiložených fotografiích (obr. 4 - 8) jsou vyobrazeny Lissajousovy křivky pro různé poměry frekvencí.

Závěr

Dynamické modelování, nejen v PHP, pomáhá vytvořit, využít a prohloubit mezipředmětové vztahy a projít celým procesem objevování a poznávání zákonitostí přírody. Předpokladem je vhodná koordinace výuky a učiva v předmětech, kde tyto mezipředmětové vazby vytváříme. Pro vykreslení průběhů závislostí veličin je zpravidla použito vykreslování „bod po bodu“.

Na příkladu skládání kmitů jsme ukázali, že další vhodnou platformou pro dynamické modelování je PHP. Velmi vhodné je, když matematický model můžeme doplnit reálně existujícím modelem, který výrazně pomůže k vytvoření představy o zkoumaném ději.

Doplňkem modelování v PHP by mohla být aplikace od Google.com (Google Chart Tools), což je nástroj pro vytváření grafů, rovnic a dalších grafických výstupů.

Všechny výše uvedené postupy byly ověřeny v praktické výuce a při srovnání s kontrolní skupinou byly zaznamenány přínosy v lepším pochopení „fungování“ světa.

Do budoucna připravujeme alespoň částečné zavedení interaktivity v modelech, které postupně představujeme na http://www.ped.muni.cz/modely, alternativně na http://www.valek.pro/kmity.

Literatura

[1] BUREL, D. Úvod do práce s knihovnou GD v PHP [online]. 2008 [cit. 2009-11-23]. Dostupný na Internetu: <http://programujte.com/?akce=clanek&cl=2008010402-uvod-do-prace-s-knihovnou-gd-v-php>. ISSN 1801-1586.

[2] LEPIL, O., RICHTEREK, L. Dynamické modelování. Olomouc : Repronis, 2007. 160 s. ISBN 978-80-7329-156-3.

[3] ŠEDIVÝ, P. Modelování pohybů numerickými metodami : Studijní text pro řešitele FO č. 38. Hradec Králové. 1999. 38 s.

[4] VÁLEK, J., SLÁDEK, P.: Dynamické modelování kmitů [online]. 2010 [cit. 2011-08-08]. Dostupný na Internetu: <http://www.ped.muni.cz/modely>.

[5] VÁLEK, J. Dynamické modelování v PHP. Veletrh nápadů učitelů fyziky 15. Praha : Prometheus, 2010. od s. 239-243, 5 s. ISBN 978-80-7196-417-9.