Měření koeficientu odporu vzduchu „C“ pomocí digitální fotografie.

Jiří Bartoš

Abstract

The coefficient of drag resistance is a dimensionless physical constant, which captures the shape and the orientation of the body to the direction of motion. Here we use stroboscopic measurement of this coefficient using the digital photography.

1. Motivace

Při řešení školských úloh o pohybu jsou žáci často přímo vedeni k tomu, aby do svých úvah nezahrnovali vliv okolního prostředí na pohyby objektů. Téměř vždy najdeme ve formulaci fyzikální úlohy slova: „tření zanedbáme“, či „odpor prostředí nebudeme uvažovat“. Právě díky takovým formulacím pak studenti mají tendenci zanedbávat odpor prostředí v každé předložené úloze, a to i v takové, v níž odporové a třecí síly hrají podstatnou roli. Objevují se i otázky typu: „Co padá rychleji, kilo peří nebo kilo železa?“. Přitom takto položená otázka nemá valného smyslu, protože neobsahuje informaci o tom, jaké prostorové uspořádání má soustava složená z 1 kg peří, resp. 1 kg železa. Následující jednoduchý experiment umožňuje jak kvalitativně prokázat významný vliv odporu prostředí na pád tělesa v tíhovém poli, tak kvantitativně určit charakteristiky příslušného silového zákona – Newtonova vztahu pro odporovou sílu.

2. Koeficient odporu vzduchu C.

Bezrozměrná fyzikální veličina, koeficient odporu C, vystupuje v Newtonově vztahu pro odporovou sílu (1) jako konstanta úměrnosti zahrnující vliv tvar tělesa a jeho orientaci vzhledem ke směru pohybu.

kde C – koeficient odporu, S – průřez kolmý ke směru pohybu, ρ - hustota odporujícího prostředí, v – velikost okamžité rychlosti tělesa, m– hmotnost tělesa, g – tíhové zrychlení.

Běžnými metodami pro měření koeficientu odporu C jsou měření mezní rychlosti pádu nebo měření na speciálním siloměru v aerodynamickém tunelu. Obě tyto metody mají značná úskalí při realizaci. Při měření mezní rychlosti nemáme obvykle dostatek prostoru, druhý způsob se neobejde bez nákladného aerodynamického tunelu.

Způsob měření koeficientu C předložený v tomto příspěvku představuje přímou metodu, která se vyhýbá oběma uvedeným obtížím. Jedná se o měření poloh tělesa při pádu v odporujícím prostředí a proložení řešení pohybové rovnice (2) naměřenými body. Využíváme digitální fotoaparát, obyčejnou černou školní tabuli, předmět, jehož koeficient odporu C budeme měřit (v našem případě kouli z polystyrenu) a jedinou obtížněji dostupnou pomůcku, stroboskop. Uspořádání experimentu je zřejmé z obr. 1.

Stroboskop je záměrně umístěn mimo osu „fotoaparát-koule“, aby světlo odražené od tabule nepřeexponovalo snímek.

Po sestavení měřící aparatury stačí spustit stroboskop na vhodné frekvenci, zatemnit místnost a zároveň s otevřením závěrky fotoaparátu upustit kouli. Toto vše bez problémů zvládne jeden experimentátor tak, že na fotoaparátu zapne samospoušť, přeběhne k tabuli a upustí kouli se začátkem expozice. Výsledný snímek (obr.2) pak vypadá takto:

Máme tedy snímek zachycující polohy koule při pádu v odporujícím prostředí v ekvidistantních časových okamžicích odpovídajících zvolené frekvenci záblesků stroboskopu (v případě obr.2 je frekvence 25 Hz, viz. pravý dolní roh obrázku).

Je vidět, že v horní části padá koule příliš pomalu na to, aby její polohy byly dobře rozlišitelné. To však není na závadu, vybereme-li jako počáteční tu polohu koule, jejíž snímek již lze bezpečně odlišit (v našem případě tu, jejíž spodní okraj je vzdálen v x₀ = 0,15 m od výchozí polohy).Této poloze tedy budou odpovídat hodnoty t = 0, x = 0, v = v₀ (viz. obr.3). V dalším budeme pracovat s soustavou souřadnic podle obr.3

Pohybová rovnice koule o hmotnosti m padající v odporujícím prostředí:

Obecné řešení této rovnice obsahuje kromě integračních konstant také volný parametr, jímž je právě hledaný koeficient C.

Stanovení počáteční rychlosti v₀:

Pro získání počáteční rychlosti v₀ musíme řešit diferenciální rovnici (2) s volným parametrem C, při označení :

s počáteční podmínkou získanou ze skutečnosti, že v(t₀) = 0 ms^-1 a x(t₀) = - x₀ = -1,05 m.

Získanou funkci x(t, C) proložíme naměřenými body [t, x(t)] metodou nejmenších čtverců a získáme hodnotu neznámého parametru C. Analyticky získané řešení pro stručnost explicitně neuvádíme.

Pro orientační měření stačí pouze jedna sada naměřených hodnot, pokud však chceme získat dobré výsledky, je nutné provést více měření při různých frekvencích záblesků stroboskopu.

V uvedeném experimentu použijeme tyto vstupní hodnoty:

materiál koule - polystyren

hmotnost koule - m = 6,87 g

poloměr koule – r = 4 cm

tíhové zrychlení – g = 9,81 m.s^-2

hustota vzduchu – ρ = 1.169 kg.m^-3 (t = 300 K)

ekvivalent citlivosti filmu – ISO 400

clonové číslo – 3,3

čas závěrky fotoaparátu – 1 s

frekvence záblesků stroboskopu – 20 až 30 Hz

Hodnota C získaná na základě nejlepší shody teoretického modelu a experimentálních výsledků je:

C = 0,42 ± 0,03,

což velmi dobře odpovídá tabulkové hodnotě C = 0,4.

Na obr.4 je zobrazen graf závislosti polohy koule na čase, čerchovaná čára představuje volný pád, plná čára křivku proloženou experimentálními body, tj. reálný pád v odporujícím prostředí.

Výše popsaným způsobem je možné měřit i koeficient odporu prostředí pro tělesa jiných tvarů, zde je však důležité dobře definovat prostorovou orientaci tělesa vůči směru jeho pohybu.

Pozn.: Na tabuli je zakreslena pouze orientační stupnice. Pro přesné měření poloh je výhodné zjistit, jaký je poměr jednotky délky v metrech a pixelech na fotografii, proměřovat fotografii v pixelech a následně využít zjištěného poměru pixel/metr.

Literatura:

[1] D.HALLIDAY, R.RESNICK , J.WALKER – Fyzika, část 1 Mechanika, VUTIUM 2000, ISBN 80-214-1868-0