Vrtule v laboratorních úlohách

Vladimír Vícha

Dvoulistá vrtule nasazená na ose modelářského motorku pro stejnosměrné napětí se může stát užitečnou pomůckou pro studium řady fyzikálních jevů. Lze ji využít ve fyzice při laboratorních či frontálních pracích žáků základní školy i gymnázia, zvláště pak ve fyzikálním semináři. Zde představujeme metodické pokyny pro čtyři laboratorní úlohy s vrtulí: (1) otáčivý pohyb, (2) vrtule a monitor, (3) vrtule jako setrvačník, (4) tažná síla vrtule.

1) Otáčivý pohyb

(sekunda gymnázia nebo 7. třída ZŠ)

Úvod

Vrtule při stálém napětí motorku vykonává dosti přesně rovnoměrný otáčivý pohyb s velmi krátkou periodou. Periodu lze jednoduše měnit regulací napětí. Žáci měří periodu otáčky v závislosti na napětí na motorku. Ke sledování takto rychlého pohybu se žáci naučí využívat optický snímač – bude to optická závora systému ISES.

Metodické pokyny

Nejprve je třeba ukázat, jak pracuje optická závora. Při přetnutí neviditelného infračerveného paprsku prstem zaznamená počítač na monitoru pokles v grafu z úrovně jedna na úroveň nula a zpět. Je třeba říci, že používáme dvoulistou vrtuli, proto během jedné otáčky dojde k dvojímu zatemnění paprsku.

Úkoly:

1) Určete dobu jedné otáčky vrtule (periodu) T pro napětí motorku 2 V, 3 V, 4 V,….9 V.

2) Nakreslete graf: Závislost doby otáčky T na napětí U a proložte vhodnou křivku.

3) Z grafu a tabulky odpovězte na následující otázky:

     a) Jak se mění doba jedné otáčky při zvýšení napětí na motorku?

     b) Pokuste se určit, jaká by byla doba jedné otáčky při napětí 6,5 V.

     c) Jaké by muselo být napětí na motorku, aby doba jedné otáčky byla 0,080 s?

Pomůcky: vrtule a motorek s rukojetí, regulovatelný zdroj stejnosměrného napětí do 9 V s vestavěným voltmetrem, počítač s kartou ISES, optická závora.

Nastavíme dobu měření 0,5 s, vzorkování 1000 Hz, start manuální. Po každém naměření žáci určí nástrojem odečet rozdílu (delta) periodu T. Napětí regulují v požadovaném rozsahu.

Zde jsou typické výsledky:

Závěr

Žáci se naučí využívat optický snímač, sestrojovat graf i s proložením křivky a musejí z něho umět vyčíst potřebné údaje. Laboratorní práce vede přirozenou cestou i k zavedení pojmu frekvence otáčivého pohybu jako počet otáček za zvolený čas. Vyšší frekvenci žáci názorně sledují na monitoru.

2) Vrtule a monitor

(čtyřleté gymnázium - seminář z fyziky)

Úvod

Studenti pozorují monitor počítače přes otáčející se vrtuli. Při určité frekvenci se listy vrtule jakoby „zastaví“, přičemž počet stojících listů se dá měnit se změnou frekvence. Studenti mají za úkol prozkoumat souvislost počtu stojících listů vrtule s periodou otáčení. Pokusí se vysvětlit stroboskopický efekt.

Metodické pokyny

Studentům je třeba ukázat, jak tento jev vzniká při nejnižších možných otáčkách. Jemnou regulací napětí vytvoříme nejprve obraz s osmi „stojícími“ listy. Vrtuli pak vsuneme do optické závory a určíme periodu T.

Úkoly:

1) Prozkoumejte závislost mezi počtem „stojících“ listů vrtule (v pořadí 8, 6, 4, 2) a periodou otáčení T.

2) Změřte světlo vydávané monitorem počítače pomocí fotorezistoru.

3) Jak vysvětlit „stojící“ listy?

Pomůcky: vrtule a motorek s rukojetí, regulovatelný zdroj stejnosměrného napětí do 9 V, fotorezistor (např. WK 65075), počítač s kartou ISES, optická závora, modul ohmmetr.

Nastavíme dobu měření 0,5 s, vzorkování 1000 Hz, start manuální.

1) Studenti pomalu zvyšují otáčky, až získají 8 listů, 6 listů, 4 listy, 2 listy. Obrazů s více listy si nevšímají. Někdy možná nepůjde dosáhnout 2 listů. Zde je typická ukázka měření.

Závislost periody T na počtu listů n

Vynesou-li graf Závislost periody T na počtu listů n, získají dosti přesně přímou úměrnost T = a.n.

Konstantu a lze určit například v excelu lineární regresí nebo pro každou dvojici v tabulce T/n. Výsledkem regrese je a = 16,2 ms. Konstanta a má zřejmě význam času.

2) V panelu ISES se zamění optická závora za fotorezistor, který se položí citlivou stranou na monitor a provede se měření. Zde je typický naměřený průběh:

Je vidět, že jas monitoru periodicky kolísá. Z právě naměřeného grafu se určí perioda blikání

T₀ = 17 ms.

3) Tajemství „stojících listů“ vrtule tedy spočívá v blikání monitoru. Pozorovaný efekt pak lze vysvětlit jako stroboskopický jev. Studenti si jistě sami všimli tohoto jevu v televizi, např. při pohybu kola kočáru, které se většinou otáčí nereálně pomalu, někdy i na druhou stranu.

Náš monitor měl nastavenou obnovovací frekvenci na 60 Hz (tato hodnota se dá ve windows změnit) a tomu odpovídá perioda T₀ = 16,7 ms. To je hodnota, která se liší jen o 3 % od námi naměřeného a. Konstanta a má tedy význam periody blikání pozorovaného místa monitoru.

Pokud máme ve třídě hloubavější studenty, kteří jsou současně dobrými pozorovateli, můžeme se pustit do hlubší analýzy experimentu. V průběhu zvyšování frekvence si totiž studenti povšimnou, že počty zastavených listů jsou: 8, 6, 4, 6, 8, 2 listy. Je to pěkná problémová úloha. Zde je její řešení:

Temný obraz vrtule proti monitoru vzniká tak, že vrtule zakrývá dané místo monitoru opakovaně vždy ve chvíli, kdy jej elektronový paprsek zjasňuje. Počet zastavených listů závisí na úhlu α, který urazí list vrtule za periodu blikání T0. Pro úhel měřený v radiánech můžeme napsat

kde T je perioda otáčení vrtule.

2 listy můžeme vidět tehdy, když , kde
     při porovnání s rovnicí (1) vyjde

4 listy můžeme vidět tehdy, když
     při porovnání s rovnicí (1) vyjde

6 listů můžeme vidět tehdy, když ,  
     ale také tehdy, když ,  

8 listů můžeme vidět tehdy, když ,  
     ale také tehdy, když ,  

Při námi zvyšovaném napětí se perioda T zkracuje. Jednotlivé stojící obrazy se tady budou objevovat v pořadí od nejdelší periody (zlomky obsahující k=0) ke kratším.

Toto pořadí nezávisí na obnovovací frekvenci monitoru.

Konkrétně pro naši frekvenci 60 Hz vyšla dobrá shoda teorie a experimentu:

Závěrem je třeba říci, že se dá zastavit i více než 8 listů, ale to už se těžko počítá, neboť obraz je nestabilní. Při vyšších frekvencích také dochází k „ohýbání listů“, což zřejmě souvisí s řádkováním monitoru.

Kratší periody než 35 ms už nešlo s daným motorkem dosáhnout.

Závěr

Studenti se seznámí se stroboskopickým jevem, popíší ho matematicky a naučí se ho využít k měření frekvence blikání monitoru. Obecněji se naučí měřit neznámou frekvenci pomocí frekvenčního standardu, což je častá úloha ve fyzice a metrologii.

3) Vrtule jako setrvačník

(čtyřleté gymnázium - seminář z fyziky)

Úvod

Studenti uchopí roztočenou vrtuli za rukojeť a pohybují s ní. Přitom cítí různé síly. Zkoumají tak vlastně gyroskopický jev, který ovšem neznají teoreticky a pravděpodobně ani prakticky. Jde tedy o objevování neznámého – heuristický experiment.

Metodické pokyny

Úkol: Při naklánění vrtule cítíte různé síly. Prozkoumejte tento jev. Měňte parametry experimentu a zapište co nejvíce výsledků pozorování (nevyžaduje se zdůvodnění).

Pomůcky: vrtule a motorek s rukojetí, regulovatelný zdroj stejnosměrného napětí do 9 V.

Roztočenou vrtuli uchopíme za rukojeť a tu dáme do svislé polohy. Sklopíme ji a zase narovnáme.

Podle 2. věty impulzové platí , kde je moment působící síly a je moment hybnosti.

Tento vzorec dáme do souvislosti s obrázkem:

Nejpodstatnější je, že potřebný moment síly musí mít stejný směr jako !

Prsty ruky musí tedy rukojeť držet tak, aby vytvořily krouticí moment v naznačeném směru. Pokud budeme rukojeť držet slabě, tyčka se v ruce otočí obráceně než je naznačeno.

Z rovnice je vidět, že velikost krouticího momentu závisí na změně momentu hybnosti a čase. Studenti by měli experimentováním objevit, že:

a) při sklápění je zapotřebí opačný moment než při narovnávání

b) při změně smyslu otáčení vrtule se situace obrátí

c) při vyšších otáčkách je zapotřebí větší moment

d) proběhne-li děj sklopení či narovnávání v kratším čase, je opět třeba větší moment na udržení rukojeti

Experimentování bylo prováděno ve fyzikálním semináři 3. ročníku čtyřletého gymnázia. V semináři je naprostá převaha děvčat, která si seminář vybrala kvůli přípravě k přijímacím zkouškám na medicínu. Zde je ukázka výsledků pozorování:

Skupina A

Při otáčení ve směru otočky vrtule (směrem od nás) cítíme, jakoby vrtule chtěla zatočit sama v opačném směru –„brání se“.

1) Čím větší oblouk vrtulí opisujeme, tím menší je „odpor vrtule“.

2) Čím menší otáčky, tím menší „odpor“.

3) Odpor vrtule také závisí na rychlosti, jakou jí otáčíme.Čím větší rychlost otáčení, tím větší „odpor“.

Skupina B

Zapojíme vrtulku, aby první otáčka směřovala doleva. Při pohybu nahoru cítíme brnění na spodní straně ruky (proti pohybu), při pohybu dolů cítíme brnění na vrchní straně ruky.

Zapojíme vrtulku, aby první otáčka směřovala doprava, pozorujeme opačné jevy.

Skupina C

1) Vrtulka se vlastně prokrajuje vzduchem. Pokud s ní pohneme ve směru, ve kterém se jím jakoby prokrajuje, tak nám tímto směrem jakoby utíká (při pohybu vrtulky dolů se ta strana, na které se zařezává, posune níž).

2) Při pohybu vrtulky proti směru prokrajování klade odpor.

3) Ovlivňuje ji i proudění do čela vrtulky při „mávání“ – zpomaluje.

Skupina D

Vypozorovaly jsme, že při pohybu s vrtulkou:

1) Pohyb nahoru a dolů:

• pociťujeme vychylování držadla do stran

• pohyb nahoru: zvedá se levá strana vrtulky

• pohyb dolů: zvedá se pravá strana vrtulky

2) Při opačném zapojení (vrtulka se točí na druhou stranu) – vychylování na opačné strany než 1).

3) S rostoucí frekvencí toto vychylování pociťujeme zřetelněji.

Nejlépe daný jev zřejmě popisují autorky D. Je zajímavé, že obě umějí výborně řešit úlohy v písemkách (mají ze semináře jedničku) a zde ukázaly i cit pro experiment a systém.

Závěr

Tato úloha se liší od běžných laboratorních úloh tím, že studenti zkoumají jevy, které dosud neznají teoreticky. Úloha je cenná tím, že studenti přírodní zákon sami objevují, zatímco v naprosté většině případů jej sděluje učitel. Studenti se také učí formulovat výsledky svých pozorování.

4) Tažná síla vrtule

(čtyřleté gymnázium - seminář z fyziky)

Úvod

Tažná síla vrtule roste s frekvencí otáčení. Vyšší frekvence ovšem vyžaduje větší elektrický příkon motorku. Vztahy mezi tažnou silou, frekvencí a příkonem se dají experimentálně změřit a regresní funkce najít pomocí excelu.

Metodické pokyny

Pokud studenti neznají měření frekvence optickou závorou, je třeba jim metodu ukázat.

Úkoly: Proměřte závislosti tažné síly vrtule na frekvenci, frekvence na příkonu a síly na příkonu. Najděte regresní funkce.

Pomůcky: vrtule a motorek na drátu, regulovatelný zdroj stejnosměrného napětí do 9 V, stojan s osou a měřítkem, svinovací metr, počítač s kartou ISES, optická závora, voltmetr, ampérmetr.

Studenti sestaví aparaturu podle obrázku. Regulací napětí roztáčí vrtuli tak, aby se výchylka x zvětšila vždy o 1 cm. Pokaždé určí frekvenci otáčení (optickou závorou), proud do motorku a napětí na motorku. Změří vzdálenost l = 32,5 cm, motorek s vrtulí považujeme za bod o hmotnosti 29 g. Studenti by měli vymyslet, jak z úhlu α určit tažnou sílu vrtule.

Odvození vzorce pro sílu: Nedochází-li k otáčení motorku kolem osy O, jsou v rovnováze momenty:

Nadcházející tabulka shrnuje všechny údaje potřebné k sestrojení grafů.

Grafy lze výhodně vytvořit pomocí excelu.

Síla roste přibližně s druhou mocninou frekvence.

Zpočátku frekvence se zvyšováním příkonu rychle roste. Tento růst se při vyšším příkonu již zpomaluje. Pro matematický popis nejlépe vyhovuje logaritmická funkce.

V naměřeném rozsahu vystihuje konkávní graf polynom druhého stupně.

Závěr

Studenti měří komplexní laboratorní úlohu - jde o kombinaci mechaniky a elektřiny. Naměřené výsledky jsou opět heuristické, neboť uvedené závislosti se ve fyzice gymnázia nevyučují. Studenti hledají matematický popis naměřených výsledků.